Question

已知函數(shù).

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)有3個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

⑶若在的定義域內(nèi)存在，使得不等式能成立，求實(shí)數(shù) 的最大值。

Answer 1

解：⑴因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?img width=61 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/278/415278.gif" >

,      ………1分

令得      ………………2分

當(dāng)時(shí)，,

當(dāng)時(shí)，   

所以的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是

……………5分

⑵函數(shù)有3個(gè)不同零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)不同交點(diǎn)  ……………6分 

由⑴知，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)或時(shí)，

所以的極大值為，極小值為

  …………7分

因?yàn)?img width=320 height=27 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/303/415303.gif" >

,    ……………8分

函數(shù)的草圖如下：

所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),在的三個(gè)單調(diào)區(qū)間中，直線和的圖象各有一個(gè)交點(diǎn)

因此，的取值范圍為.    ……………10分

⑶設(shè)（x>-1）

   ……………11分

令

當(dāng)

則當(dāng)時(shí)，有最大值   …………12分

若在區(qū)間內(nèi)存在，而使得不等式能成立，

則         …………13分

，的最大值為       ……………14分