Question

3．已知函數f（x）=e^x-x．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）求函數g（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-1在[0，+∞）上的最小值；
（Ⅲ）求證：e^x＞lnx+$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據導數和函數的單調性的關系即可求出；
（Ⅱ）先求導，判斷函數g（x）的單調性質，即可求出最小值；
（Ⅲ）構造函數$h（x）=\frac{1}{2}{x^2}+1-（lnx+\frac{3}{2}）=\frac{1}{2}{x^2}-lnx-\frac{1}{2}$，求得h（x）≥h（1）=0，問題得以證明．

解答 解：（I）f'（x）=e^x-1，
由f'（x）＞0可得x＞0，由f'（x）＜0可得x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增．
（ II） g'（x）=e^x-x，
令m（x）=e^x-x，
∴m'（x）=e^x-1，
由（ I）知m'（x）在[0，+∞）上單調遞增，
∴m（x）≥m（0）=1，
∴g'（x）＞0在[0，+∞）上恒成立，
∴g（x）在[0，+∞）上單調遞增，
∴x∈[0，+∞）時，g（x）_min=g（0）=0．
（ III）由（ II） 知當x＞0時，g（x）＞0，
即x＞0時，${e^x}＞\frac{1}{2}{x^2}+1$，
設函數$h（x）=\frac{1}{2}{x^2}+1-（lnx+\frac{3}{2}）=\frac{1}{2}{x^2}-lnx-\frac{1}{2}$，
則$h'（x）=x-\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-1}}{x}\;\;（x＞0）$，
由h'（x）＞0可得x＞1；由h'（x）＜0可得0＜x＜1，
∴h（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．
∴h（x）≥h（1）=0，
∴x＞0時，$\frac{1}{2}{x^2}+1≥lnx+\frac{3}{2}$，
∴${e^x}＞lnx+\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查函數、導數、不等式等基本知識查以及運算求解能力、推理論證能力；培養(yǎng)了化歸轉化思想、函數方程的思想、數形結合思想，屬于中檔題．