Question

【題目】已知數列{an}的首項， ， ．

(1)求證：數列為等比數列；

(2)記，若Sn<100，求最大正整數n；

(3)是否存在互不相等的正整數m，s，n，使m，s，n成等差數列，且am－1，as－1，an－1成等比數列？如果存在，請給以證明；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）99；（3）不存在

【解析】試題分析：（1）根據可得，根據，可知，即，據此即可求證；（2）根據等比數列的通項公式可得，進而即可表示出，對其進行整理可得，由于，所以有，即，至此，即可得到最大正整數 ；（3）首先假設存在，根據等差數列的性質可得，再根據等比的性質可得，結合（2）中得到的通項公式可將其化簡為，接下來再根據均值不等式可知，當且僅當時等號成立，至此，再根據互不相等即可得結果.

試題解析：(1)因為＝＋，所以－1＝－.又因為－1≠0，所以－1≠0(n∈N*)．

所以數列為等比數列．

(2)由(1)可得－1＝·n－1，所以＝2·n＋1.

Sn＝＋＋…＋＝n＋2＝n＋2·＝n＋1－，

若Sn<100，則n＋1－<100，因為函數y= n＋1－單調增， 所以最大正整數n的值為99.

(3)假設存在，則m＋n＝2s，(am－1)(an－1)＝(as－1)2，

因為an＝，所以＝2，

化簡得3m＋3n＝2·3s，因為3m＋3n≥2·＝2·3s，

當且僅當m＝n時等號，又m，s，n互不相等，所以不存在．