Question

某公司生產(chǎn)A、B兩類產(chǎn)品，每類產(chǎn)品均有一般品和優(yōu)等品兩種，某月的產(chǎn)量如下表：

	A	B
優(yōu)等品	100	x
一般品	300	400

按分層抽樣的方法在該月生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取50個，其中A類20個．
（Ⅰ）求x的值；
（Ⅱ）用分層抽樣的方法在B類中抽取一個容量為6個的樣本，從樣本中任意取2個，求至少有一個優(yōu)等品的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由每個個體被抽到的概率都相等，可得

20

100+300

=

50

100+300+x+400

，由此求得x的值．
（Ⅱ）先求出抽出的產(chǎn)品中，優(yōu)等品為 2個，一般品為4個，求出沒有優(yōu)等品的概率，再用1減去此概率，即得所求．

解答：解：（Ⅰ）由每個個體被抽到的概率都相等，可得

20

100+300

=

50

100+300+x+400

，
解得x=200． …（4分）
（Ⅱ）抽取容量為6的樣本，由于優(yōu)等品所占的比例為

200

200+400

=

1

3

，一般品所占的比例為

400

200+400

=

2

3

，
則抽出的產(chǎn)品中，優(yōu)等品為 6×

1

3

=2個，一般品為6×

2

3

=4個．
從樣本中任意取2個，所有的取法種數(shù)為

C

2 6

=15，其中沒有優(yōu)等品的取法種數(shù)為

C

2 4

=6，
故沒有優(yōu)等品的概率為

6

15

=

2

5

，
所以至少有一個優(yōu)等品的概率是 1-

2

5

=

3

5

．  …（12分）

點評：本題主要考查分層抽樣的定義和方法，用每層的個體數(shù)乘以每個個體被抽到的概率等于該層應(yīng)抽取的個體數(shù)，
一個事件的概率與它的對立事件的概率間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．