Question

已知函數y=e^x的圖象在點(ak，eak)處的切線與x軸的交點的橫坐標為a_k+1，其中k∈N^*，a₁=0，則a₁+a₃+a₅=

-6

．

Answer 1

分析：先利用導數求出曲線在點(ak，eak)處的切線，求出切線與橫軸交點的橫坐標，得到數列遞推式，看出數列是一個等差數列，從而求出所求．

解答：解：∵y=e^x，
∴y′=e^x，
∴y=e^x在點（a_k，e^a_k）處的切線方程是：
y-e^a_k=e^a_k（x-a_k），
整理，得e^a_kx-y-a_ke^a_k+e^a_k=0，
∵切線與x軸交點的橫坐標為a_k+1，
∴a_k+1=a_k-1，
∴{a_n}是首項為a₁=0，公差d=-1的等差數列，
∴a₁+a₃+a₅=0-2-4=-6．
故答案為：-6．

點評：本題主要考查了切線方程以及數列和函數的綜合，本題解題的關鍵是寫出數列遞推式，求出兩個項之間的關系，得到數列是一個等差數列，屬于中檔題．