Question

2．“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟效益好的特點．研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v（單位：千克/年）是養(yǎng)殖密度x （單位：尾/立方米）的函數(shù)．當(dāng)x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當(dāng)4＜x≤20時，v是x的一次函數(shù)，當(dāng)x達到20尾/立方米時，因缺氧等原因，v的值為0千克/年．
（1）當(dāng)0＜x≤20時，求v關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（2）當(dāng)養(yǎng)殖密度x為多大時，魚的年生長量（單位：千克/立方米）可以達到最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)4＜x≤20時，設(shè)v=ax+b，根據(jù)待定系數(shù)法求出a，b的值，從而求出函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)f（x）的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的最大值即可．

解答 解�。�1）由題意得當(dāng)0＜x≤4時，v=2；                  
當(dāng)4＜x≤20時，設(shè)v=ax+b，
由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{20a+b=0}\\{4a+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{8}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
所以v=-$\frac{1}{8}$x+$\frac{5}{2}$，
故函數(shù)v=$\left\{\begin{array}{l}{2，0＜x≤4}\\{-\frac{1}{8}x+\frac{5}{2}，4＜x≤20}\end{array}\right.$；
（2）設(shè)年生長量為f（x）千克/立方米，
依題意并由（1）可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，0＜x≤4}\\{-{\frac{1}{8}x}^{2}+\frac{5}{2}x，4＜x≤20}\end{array}\right.$
當(dāng)0＜x≤4時，f（x）為增函數(shù)，故f（x）_max=f（4）=4×2=8；       
當(dāng)4＜x≤20時，f（x）=-$\frac{1}{8}$x²+$\frac{5}{2}$x=-$\frac{1}{8}$（x²-20x）=-$\frac{1}{8}$（x-10）²+$\frac{100}{8}$，
f（x）_max=f（10）=12.5．
所以當(dāng)0＜x≤20時，f（x）的最大值為12.5．
即當(dāng)養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達到最大，最大值為12.5千克/立方米．

點評 本題考查了求函數(shù)的解析式問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．