Question

11．過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B，若S_△OAF=3S_△OBF，則直線AB的斜率為（　　）

• A． $±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $±\frac{4}{3}$
• C． $±\sqrt{3}$
• D． $±\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 據(jù)S_△AOF=3S_△BOF，得|AF|=3|BF|，得$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$，求得-y₁=3y₂，設(shè)出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去x，利用韋達(dá)定理求出斜率，即可求出tanα．

解答 解：根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由S_△AOF=3S_△BOF，得|AF|=3|BF|，得$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$，得（$\frac{p}{2}$-x₁，-y₁）=3（$\frac{p}{2}$-x₂，-y₂），
故-y₁=3y₂，即$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=-3．
設(shè)直線AB的方程為y=k（x-$\frac{p}{2}$）．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{y=2px}\end{array}\right.$，消元得ky²-2py-kp²=0．
故y₁+y₂=$\frac{2p}{k}$，y₁y₂=-p²．則$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$+$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$+2=-$\frac{4}{3}$，-$\frac{4}{{k}^{2}}$=-$\frac{4}{3}$，解得k=$\sqrt{3}$，
即直線AB的斜率為±$\sqrt{3}$，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的概念和性質(zhì)，直線和拋物線的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．