Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足條件：對(duì)任意的n∈N^*，點(diǎn)（1，n²）在函數(shù)f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ（n∈N^*）的圖象上，g（x）=$\frac{2x}{x+1}$，數(shù)列{b_n}滿足b₁=$\frac{2}{3}$，b_n+1=g（b_n），n∈N^*，
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）試比較f（$\frac{1}{2}$）與b_n的大�。ㄆ渲衝∈N^*）

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)（1，n²）代入函數(shù)解析式，求得S_n=n²，n≥2時(shí)，由a_n=S_n-S_n-1，即可求得a_n=2n-1，驗(yàn)證當(dāng)n=1成立，由題意可知b_n+1=$\frac{2_{n}}{_{n}+1}$，構(gòu)造等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）將x=$\frac{1}{2}$代入f（x）的解析式，利用“錯(cuò)位相減法”求得f（$\frac{1}{2}$）的解析式，與（1）所求的b_n的通項(xiàng)公式，當(dāng)n=1時(shí)，比較大小，當(dāng)n≥2，分別求得f（$\frac{1}{2}$）與b_n的極限值，即可比較大�。�

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
則S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=f（1）=n²，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，…（2分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²2n-1，
∵n≥2時(shí)，a_n=2n-1對(duì)于n=1也同樣適用，
∴a_n=2n-1，n∈N^*．
b_n+1=g（b_n）=$\frac{2_{n}}{_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{_{n}}$-1），$\frac{1}{_{1}}$-1=$\frac{1}{2}$
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$-1}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
$\frac{1}{_{n}}$-1=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴b_n=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}+1}$，
數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式為a_n=2n-1，{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}+1}$；
（2）f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{4}$+5×$\frac{1}{8}$+…+（2n-1）$\frac{1}{{2}^{n}}$，
兩邊都乘以$\frac{1}{2}$，可得$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=（$\frac{1}{2}$）²+3（$\frac{1}{2}$）³+5（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（2n-1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減，得 $\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=（$\frac{1}{2}$）+2（$\frac{1}{2}$）²+2（$\frac{1}{2}$）³+…+2（$\frac{1}{2}$）ⁿ-（2n-1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
=$\frac{3}{2}$-（2n+3）（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
則f（$\frac{1}{2}$）=3-（2n+3）（$\frac{1}{2}$）ⁿ，n∈N^*
b_n=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}+1}$＜1，n∈N^*，
當(dāng)n=1時(shí)，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，b₁=$\frac{2}{3}$，
f（$\frac{1}{2}$）＜b_n，
當(dāng)n≥2，隨著n的增加f（$\frac{1}{2}$）逐漸趨于3，即$\underset{lim}{n→∞}$f（$\frac{1}{2}$）=3，b_n趨近于1，$\underset{lim}{n→∞}$b_n=1，
f（$\frac{1}{2}$）≥b_n，
綜上可知：當(dāng)n=1時(shí)，f（$\frac{1}{2}$）＜b_n，
當(dāng)n≥2時(shí)，f（$\frac{1}{2}$）≥b_n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查利用“錯(cuò)位相減法“求數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列的極限運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于難題．