Question

已知數(shù)列，,其中為實(shí)數(shù)，為正整數(shù).

（Ⅰ）證明：對任意實(shí)數(shù)，數(shù)列不是等比數(shù)列；

（Ⅱ）證明：當(dāng)

（Ⅲ）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)，使得對任意正整數(shù)n，都有

     若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列示和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算技能，考查分析問題能力和推理能力.

(Ⅰ)證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使｛a_n｝是等比數(shù)列，則有,即

（）²=²矛盾.

所以｛a_n｝不是等比數(shù)列.

（Ⅱ）證明：∵

                 

                                                                   

又由上式知

故當(dāng)數(shù)列｛b_n｝是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

（Ⅲ）當(dāng)由（Ⅱ）得于是

      

         當(dāng)時(shí)，，從而上式仍成立.

         要使對任意正整數(shù)n , 都有

          即

          令

          當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，

          

           于是可得

           綜上所述，存在實(shí)數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有

          的取值范圍為