Question

如圖所示，在三棱錐P—ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點O、D分別是AC、PC的中點，

OP⊥底面ABC.

（1）若k=1，試求異面直線PA與BD所成角余弦值的大小；

（2）當k取何值時，二面角O—PC—B的大小為？

Answer 1

(1) 異面直線PA與BD所成角的余弦值的大小為. (2) k=時,二面角O—PC—B的大小為

解析:

  ∵OP⊥平面ABC，又OA=OC，AB=BC，

從而OA⊥OB，OB⊥OP，OA⊥OP，

以O(shè)為原點，建立如圖所示空間直角坐標系O—xyz.

（1）設(shè)AB=a，則PA=a，PO=a，

A（a，0，0），B（0，a，0），

C（-a，0，0），P（0，0，a），

則D（-a，0，a）.

∵=(a，0，-a )，=(-a，-a，a)，

∴cos〈,〉===-,

則異面直線PA與BD所成角的余弦值的大小為.

（2）設(shè)AB=a，OP=h，∵OB⊥平面POC，

∴=(0，a，0)為平面POC的一個法向量.

不妨設(shè)平面PBC的一個法向量為n=（x，y，z），

∵A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(-a，0，0)，P(0，0，h)，

∴=(-a,- a,0),=(- a,0,-h),

由

不妨令x=1，則y=-1，z=-，

即n=(1,-1,- ),則cos=

==2+=4h=a,

∴PA===a,

而AB=kPA,∴k=.

故當k=時,二面角O—PC—B的大小為.