Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點和短軸的兩個頂點構成的四邊形是一個正方形,且其周長為.

（Ⅰ）求橢圓的方程;

（Ⅱ）設過點的直線與橢圓相交于兩點,點關于原點的對稱點為,若點總在以線段為直徑的圓內,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（I）由題意列出方程組求出， ，由此能求出橢圓的方程．(Ⅱ)當直線的斜率不存在時， 的方程為， ，點B在橢圓內，由，得，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、由此能求出的取值范圍.

試題解析：（I）解：由題意，得： 又因為

解得，所以橢圓C的方程為.

（II）當直線的斜率不存在時，由題意知的方程為x=0，

此時E，F為橢圓的上下頂點，且，

因為點總在以線段為直徑的圓內，且，

所以，故點B在橢圓內.

當直線的斜率存在時，設的方程為.

由方程組得，

因為點B在橢圓內，

所以直線與橢圓C有兩個公共點，即.

設，則.

設EF的中點，則，

所以.所以，

，

因為點D總在以線段EF為直徑的圓內，所以對于恒成立.

所以.

化簡，得，整理，得，

而（當且僅當k=0時等號成立）所以，

由m>0，得.綜上，m的取值范圍是.