Question

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性,不需要說明理由．

（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由．

（3）對于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）增函數(shù)； （2）奇函數(shù)，理由見解析； （3）.

【解析】

（1）將函數(shù)化為，即可直接得出結(jié)果；

（2）先由解析式，得到函數(shù)定義域， 再由，即可判斷出結(jié)果；

（3）先由函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，將原不等式化為，在恒成立，令，，分別討論，，三種情況，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)果.

（1）為上的增函數(shù)；

（2）根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域?yàn)?/span>，

有，

則函數(shù)為奇函數(shù)；

（3）由（2）的結(jié)論，為上的奇函數(shù)，

則可化為：，

即，

又由在上是單調(diào)遞增的函數(shù)，則有，在恒成立；

即，在恒成立，

設(shè)，，則等價于即可．

即，

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，其最小值為，得，不成立；

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其最小值為，解得，所以；

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，其最小值為，可得，所以

綜上可得：的取值范圍為：．