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【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（Ⅰ）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）若把曲線各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>，得到曲線，求曲線的方程；

（Ⅲ）設為曲線上的動點，求點到曲線上點的距離的最小值，并求此時點的坐標.

【答案】（Ⅰ）,.

（Ⅱ）.

（Ⅲ） ，此時 的坐標為.

【解析】分析：（Ⅰ）直接消參得到直角坐標方程，利用極坐標公式把極坐標化成直角坐標方程.( Ⅱ)利用伸縮變換公式求曲線的方程.( Ⅲ) 設橢圓上的點,再求d的表達式，最后利用三角函數(shù)的圖像性質求點到曲線上點的距離的最小值，并求此時點的坐標.

詳解：（Ⅰ）由曲線：（）得（為參數(shù)）,

∴，

即為曲線的普通方程.

由曲線 ，得，

∴即為的直角坐標方程.

（Ⅱ）依題意，設是曲線上任意一點，對應曲線上的點為，

則有， ∴ .

∵ : ，∴.

即所求曲線的方程為.

（Ⅲ）易知，橢圓與直線無公共點，設橢圓上的點，

從而點到直線的距離為

∴當時，，

此時，，∴點的坐標為.

練習冊系列答案
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【題目】為調查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調查了500位老年人，結果如下：

性別

是否需要志愿者

男

女

需要

40

30

不需要

160

270

（1）估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；

（2）請根據(jù)上面的數(shù)據(jù)分析該地區(qū)的老年人需要志愿者提供幫助與性別有關嗎

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（2）若f（x）存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于 ．

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(2)直線l1與直線l2平行，并且直線l2在y軸上的截距為3．則a＝____，b＝_______

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