Question

一非零向量列{a_n}滿足：a₁=(x₁,y₁),a_n=(x_n,y_n)=(x_n-1-y_n-1,x_n-1+y_n-1)(n≥2),

(1)證明：{|a_n|}是等比數(shù)列；

(2)求a_n-1與a_n的夾角θ_n(n≥2),若b_n=2nθ_n-1,S_n=b₁+b₂+…b_n,求S_n;

(3)設a₁=(1,2),把a₁，a₂，…，a_n,…中所有與a₁共線的向量按照原來的順序排成一列，記為b₁,b₂,…,b_n,…,令Ob_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n(O為坐標原點)，求點列{B_n}的極限點B的坐標（注：若點B_n的坐標為（t_n,s_n）且t_n=t,s_n=s，則點B（t,s）為點列{B_n}的極限點）.

Answer 1

解：（1）|a_n|===|a_n-1|對任意n≥2恒成立，即|a_n|=|a_n-1|,故{|a_n|}是首項為|a₁|,公比為的等比數(shù)列；

（2）a_n-1·a_n=(x_n-1,y_n-1)·(x_n-1-y_n-1,x_n-1+y_n-1)=(+)=

|a_n-1|²,cos＜a_n-1,a_n＞=,將|a_n|=|a_n-1|,a_n-1·a_n=|a_n-1|²代入上式可得cos＜a_n-1,a_n＞=,所以a_n-1與a_n的夾角為θ_n=;b_n=2nθ_n-1=-1,

    則{b_n}為等差數(shù)列，S_n=×n=(1+n)n-n=(n²+n)-n.

（3）∵a₁=(x₁,y₁),a_n=(x_n-1-y_n-1,x_n-1+y_n-1),

∴ a₂=(x₁-y₁,x₁+y₁),

a₃=(-y₁,x₁),a₄=(-x₁-y₁,x₁-y₁),a₅=-(x₁,y₁),類推得a₁∥a₅∥a₉…,所以b₁=a₁,b₂=a₅,…b_n=a_4n-3（也可用數(shù)學歸納法證明），b_n=a_4n-3=(-)^n-1(x₁,y₁),設=(t_n,s_n),則t_n=［1+(-)+(-)²+…+(-)^n-1］x₁

=［1-(-)ⁿ］,S_n=［1+(-)+(-)²+…+(-)^n-1］y₁

=［1-(-)ⁿ］,所以點B_n的坐標（t_n,s_n）為（［1-（-）ⁿ］,［1-(-)ⁿ］）.

    又t_n=    s_n=.

∴ 點列{B_n}的極限點B的坐標為（，）.