Question

給定實數(shù)a（），設函數(shù)f（x）=2x+（1-2a）ln（x+a）（x＞-a，x∈R），f（x）的導數(shù)f′（x）的圖象為C₁，C₁關于直線y=x對稱的圖象記為C₂．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f′（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）對于所有整數(shù)a（a≠-2），C₁與C₂是否存在縱坐標和橫坐標都是整數(shù)的公共點？若存在，請求出公共點的坐標；若不若存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出函數(shù)的導數(shù)，然后再求出導數(shù)函數(shù)的導數(shù)，即函數(shù)的二階導數(shù)，并由此判斷函數(shù)導數(shù)的單調區(qū)間；
（2）利用根的存在性定理進行計算．
解答：解：（Ⅰ）設g（x）=f′（x）=，
則g′（x）=，
當a≥時，函數(shù)y=f′（x）在區(qū)間（-∞，-a]、（-a，∞）上單調遞增，
當a＜時，函數(shù)y=f′（x）在區(qū)間（-∞，-a]、（-a，∞）上單調遞減，
∴函數(shù)y=f′（x）的單調區(qū)間是（-∞，-a]、（-a，∞）．
（Ⅱ）易知C₂對應的函數(shù)為，
由=，
化簡可得（a+2）[x²+（a-2）x-1]=0，
∵a≠-2，
∴依題意知x²+（a-2）x-1=0的兩根均為整數(shù)，
由x²+（a-2）x-1=0，
有，
又，
∴x=±1
∴a=2，
∴縱坐標和橫坐標都是整數(shù)的公共點是（1，1）與（-1，-1）．
點評：掌握函數(shù)求導的方法以及單調區(qū)間的判斷，熟悉根的存在性定理及其運用．