Question

【題目】設(shè)函數(shù)是偶函數(shù).

（1）若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)，若在上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)偶函數(shù)得到，化簡(jiǎn)得到，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到答案.

（2）題目等價(jià)于在上有解，令，則，令，則在上單調(diào)遞增，，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到答案.

（1）是偶函數(shù)，

故，故.

不等式即為，即，

因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以，

由函數(shù)在上是增函數(shù)知的最小值為3，

所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（2）在上有零點(diǎn)，

即為在上有解，

因?yàn)?/span>，所以，

所以條件等價(jià)于在上有解.

令，則，令，則在上單調(diào)遞增，.

設(shè)，任取，則，

.

若，則，所以，即在上單調(diào)遞增；

若，則，所以，即在上單調(diào)遞減.

所以函數(shù)在時(shí)取得最小值，且最小值，所以，

從而，滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍是.