Question

．(本小題滿分12分）
已知函數(shù)，是常數(shù)）在x=e處的切線方程為，既是函數(shù)的零點，又是它的極值點．
(1)求常數(shù)a,b,c的值；
(2)若函數(shù)在區(qū)間(1，3)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
(3)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，并證明：

Answer 1

(1) ，， (2) (3) , 證明：當(dāng)時, 即對一切都成立，亦即對一切都成立， 所以，，，…， 所以有，
所以. 

試題分析：（1）由知，的定義域為,,
又在處的切線方程為，所以有
,①
由是函數(shù)的零點，得,②
由是函數(shù)的極值點，得，③
由①②③，得，，.  
（2）由(1)知，
因此，，所以
.
要使函數(shù)在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在內(nèi)一定有極值，而
，所以函數(shù)最多有兩個極值.
令. 
（�。┊�(dāng)函數(shù)在內(nèi)有一個極值時，在內(nèi)有且僅有一個根，即
在內(nèi)有且僅有一個根，又因為，當(dāng)          ，即時，在內(nèi)有且僅有一個根
，當(dāng)時，應(yīng)有，即，解得，所 以有.  
（ⅱ）當(dāng)函數(shù)在內(nèi)有兩個極值時，在內(nèi)有兩個根，即二次函
數(shù)在內(nèi)有兩個不等根，所以

解得.
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
（3）由，得，
令，得，即的單調(diào)遞減區(qū)間為.
由函數(shù)在上單調(diào)遞減可知，
當(dāng)時, ，即，
亦即對一切都成立，
亦即對一切都成立，
所以，
，
，
…
，
所以有，
所以. 
點評：本題第一問題型基礎(chǔ)簡單，第二問需要分情況討論，對學(xué)生有一定的難度，第三問需要借助于單調(diào)性求出最值進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立的不等式，難度大