Question

【題目】已知數列和滿足：，，，其中為實數，為正整數．

（Ⅰ）證明：對任意的實數，數列不是等比數列；

（Ⅱ）證明：當時，數列是等比數列；

（Ⅲ）設為數列的前項和，是否存在實數，使得對任意正整數，都有？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見詳解；（Ⅱ）見詳解；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）假設是等比數列，根據和建立等式，若無解，說明假設不成立；（Ⅱ）根據和求出和的關系，再根據等比數列的定義證明；（Ⅲ）時，成立；，根據等比數列的求和公式解不等式.

（Ⅰ）證明：假設存在一個實數，使是等比數列，則有，

即，矛盾．

所以不是等比數列．

（Ⅱ）證明：

.

又．由上式知，

故當時，數列是以為首項，為公比的等比數列.

（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）得，

于是，

當時，，從而．上式仍成立.

要使對任意正整數，都有.

即.

令，則

當為正奇數時，：當為正偶數時，，

的最大值為.

于是可得.

綜上所述，存在實數，使得對任意正整數，都有；

的取值范圍為.