Question

【題目】如圖，在四棱椎中， 是棱上一點(diǎn)，且，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形， 為正三角形，且平面平面，平面與棱交于點(diǎn).

(1)求證：平面平面；

(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：(1)在正方形中， ，由面面垂直的性質(zhì)定理可得，∴平面，又平面，∴，進(jìn)而證得，又平面， ，

∴平面，∵平面，∴平面平面.

(2)取中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量.由空間的夾角公式可求兩個(gè)向量的的夾角，又由題意可得二面角為鈍角，即可得到二面角的余弦值.

試題解析：

(1)在正方形中， ，又平面平面，且平面平面，

∴平面，又平面，∴，∵底面是正方形，∴，

又平面， 平面，∴平面.

又四點(diǎn)共面，且平面平面，∴，∴，

又，∴為棱的中點(diǎn)， 是棱中點(diǎn)，

∵是正三角形，∴，又平面， ，

∴平面，∵平面，∴平面平面.

(2)取中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

， ， ， ， ， ， ， .

設(shè)平面的法向量為，則，∴， ， ，解得， ，令，則為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則， ，

∴， ，得， ，令，則為平面的一個(gè)法向量.

∴，由圖知二面角為鈍角，

∴二面角的余弦值為.