Question

15．已知函數(shù)f（x）=e^x-2ax-1．
（1）討論函數(shù)f（x）的極值；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)f′（x），令f′（x）=0討論方程的解即可；
（2）令[0，2]在f（x）的單調(diào)區(qū)間上即可解出．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-2a，
令f′（x）=0得e^x=2a．
①若a≤0，方程無(wú)解，即f（x）無(wú)極值；
②若a＞0，x=ln2a．
當(dāng)x＜ln2a時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞ln2a時(shí)，f′（x）＞0，
∴當(dāng)x=ln2a時(shí)，f（x）取得極小值f（ln2a）=2a-2aln2a-1．
綜上所述：當(dāng)a≤0，f（x）無(wú)極值；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）有極小值2a-2aln2a-1．
（2）①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）=e^x-2a＞0，∴f（x）在R上單調(diào)遞增，符合題意；
②當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（-∞，ln2a）上單調(diào)遞減，在（ln2a，+∞）上單調(diào)遞增，
∵f（x）在[0，2]上單調(diào)，
∴2≤ln2a或ln2a≤0．
∴a≥$\frac{{e}^{2}}{2}$或0＜a≤$\frac{1}{2}$．
綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{{e}^{2}}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，極值的關(guān)系，屬于中檔題．