Question

已知函數(shù)．

（1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；

（2）若函數(shù)在處取得極值，對,恒成立，

求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）當時在上沒有極值點，當時，在上有一個極值點（2）

【解析】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查恒成立問題，著重考查分類討論思想與構(gòu)造函數(shù)思想的應用，體現(xiàn)綜合分析問題與解決問題能力，屬于難題．

（Ⅰ）由f（x）=ax-1-lnx可求得f′（x）對a分a≤0與a＞0討論f′（x）的符號，從而確定f（x）在其定義域（0，+∞）單調(diào)性與極值，可得答案；

（Ⅱ）函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx-2構(gòu)造函數(shù)g（x）= f（x）-（bx-2），g（x）_min即為所求的b的值．

解：（Ⅰ），…………1分

當時，在上恒成立，函數(shù) 在單調(diào)遞減，

∴在上沒有極值點；……………2分

當時，得，得，

∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．…4分

∴當時在上沒有極值點，

當時，在上有一個極值點．………………6分

（Ⅱ）∵函數(shù)在處取得極值，∴，

∴，………………8分

令，可得在上遞減，在上遞增，…………11分

∴，即．………………13分