Question

10．?dāng)?shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=n²（cos²$\frac{nπ}{3}$-sin²$\frac{nπ}{3}$），其前n項(xiàng)和為S_n，則S₂₉為（　�。�

• A． -430
• B． -470
• C． 470
• D． 490

Answer 1

分析 a_n=n²（cos²$\frac{nπ}{3}$-sin²$\frac{nπ}{3}$）=n²$cos\frac{2nπ}{3}$．可得：當(dāng)n=3k時(shí)，k∈N^*，a_n=a_3k=n²；當(dāng)n=3k-1時(shí)，a_n=a_3k-1=$-\frac{1}{2}{n}^{2}$；當(dāng)n=3k-2時(shí)，a_n=a_3k-2=$-\frac{1}{2}{n}^{2}$．即可得出．

解答 解：a_n=n²（cos²$\frac{nπ}{3}$-sin²$\frac{nπ}{3}$）=n²$cos\frac{2nπ}{3}$，
當(dāng)n=3k時(shí)，k∈N^*，a_n=a_3k=n²cos2kπ=n²；
當(dāng)n=3k-1時(shí)，a_n=a_3k-1=n²$cos（2kπ-\frac{2}{3}π）$=$-\frac{1}{2}{n}^{2}$；
當(dāng)n=3k-2時(shí)，a_n=a_3k-2=n²$cos（2kπ-\frac{4π}{3}）$=$-\frac{1}{2}{n}^{2}$．
∴a_3k+a_3k-1+a_3k-2=（3k）²-$\frac{1}{2}（3k-1）^{2}$$-\frac{1}{2}（3k-2）^{2}$=9k-$\frac{5}{2}$．
∴S₂₉=9×（1+2+…+9+10）-a₃₀-$\frac{5}{2}×10$
=-430．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、三角函數(shù)求值，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．