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證明π是函數(shù)y=cos(sinx)的一個(gè)周期，并且π是函數(shù)y=cos(sinx)的最小正周期.

思路解析：對(duì)于三角函數(shù)來說，如果有f(x+T)=f(x)，則函數(shù)f(x)的周期為T，本題要證明π是函數(shù)y=cos(sinx)的周期，可以把π代入看它是否滿足這一關(guān)系，若滿足這一關(guān)系，即得證.

解：cos［sin(x+π)］=cos(-sinx)=cos(sinx)，

∴y=cos(sinx)是周期函數(shù)，π是它的一個(gè)周期.

假設(shè)T是函數(shù)的最小正周期，且0＜T＜π，那么對(duì)一切實(shí)數(shù)x，都有cos［sin(x+T)］=cos(sinx).

令x=0，得cos(sinT)=1.sinT=2kπ(k∈Z).

∵|sinT|≤1,

∴k=0,即sinT=0.

∴T=nπ(n∈Z)，這與0＜T＜π矛盾.

∴函數(shù)y=cos(sinx)的最小正周期不能小于π，即π是其最小正周期.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列命題：
（1）存在實(shí)數(shù)α，使sinαcosα=1；
（2）存在實(shí)數(shù)α，使sinα+cosα=
3
2
；
（3）函數(shù)y=sin(
5π
2
-2x)是偶函數(shù)；
（4）方程x=
π
6
是函數(shù)y=cos(x-
π
6
)圖象的一條對(duì)稱軸方程；
（5）若α，β是第一象限角，且α＞β，則tanα＞tanβ．
（6）把函數(shù)y=cos(2x+
π
12
)的圖象向右平移
π
12
個(gè)單位，所得的函數(shù)解析式為y=cos(2x-
π
12
)
其中正確命題的序號(hào)是
 
．（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=cos（x-
π
6
）（x∈[
π
6
，
2
3
π]）的最小值是
0
0
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

給出下列命題：
（1）存在實(shí)數(shù)α，使sinαcosα=1；
（2）存在實(shí)數(shù)α，使sinα+cosα=
3
2
；
（3）函數(shù)y=sin(
5π
2
-2x)是偶函數(shù)；
（4）方程x=
π
6
是函數(shù)y=cos(x-
π
6
)圖象的一條對(duì)稱軸方程；
（5）若α，β是第一象限角，且α＞β，則tanα＞tanβ．
（6）把函數(shù)y=cos(2x+
π
12
)的圖象向右平移
π
12
個(gè)單位，所得的函數(shù)解析式為y=cos(2x-
π
12
)
其中正確命題的序號(hào)是 ______．（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列命題:

①y=tanx在其定義域上是增函數(shù);

②函數(shù)y=|sin(2x+)|的最小正周期是;

③函數(shù)y=cos(-x)的單調(diào)遞增區(qū)間是［-π+2kπ,2kπ］(k∈Z);

④函數(shù)y=lg(sinx+)有無奇偶性不能確定.

其中正確命題的序號(hào)是_________________.

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同步練習(xí)冊(cè)答案