Question

如圖，F₁，F₂是離心率為的橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點，直線：x＝－將線段F₁F₂分成兩段，其長度之比為1:3．設A，B是C上的兩個動點，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點，線段AB的中點M在直線l上．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)； (Ⅱ)[，）．

【解析】

試題分析：(Ⅰ)由題意比例關系先求c，再由離心率求a，從而可求橢圓的方程；（Ⅱ）分直線AB斜率是否存在兩種情況討論：（1）當直線AB垂直于x軸時，易求；（2）當直線AB不垂直于x軸時，先設直線AB的斜率，點M、A、B的坐標，把點A、B坐標代入橢圓方程求k、m之間的關系，再求PQ直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立方程組，由韋達定理求的表達式，最后求其范圍．

試題解析：(Ⅰ) 設F₂(c，0)，則＝，所以c＝1．

因為離心率e＝，所以a＝．

所以橢圓C的方程為．                     6分

(Ⅱ)當直線AB垂直于x軸時，直線AB方程為x＝－，此時P(，0)、Q(,0)

．

當直線AB不垂直于x軸時，設直線AB的斜率為k，M(－，m) (m≠0)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由  得(x₁＋x₂)＋2(y₁＋y₂)＝0，則－1＋4mk＝0，故k＝．

此時，直線PQ斜率為，PQ的直線方程為．即．

聯(lián)立 消去y，整理得．

所以，．

于是(x₁－1)(x₂－1)＋y₁y₂

．

令t＝1＋32m²，1＜t＜29，則．

又1＜t＜29，所以．

綜上，的取值范圍為[，）． 15分

考點：1、橢圓的方程及性質；2、直線與橢圓相交的性質；3、向量的坐標運算.