Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x-1}{a{e}^{x}}$-1（a∈R，a≠0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線；
（2）若函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（3）若函數(shù)f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)，試寫出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1），再求出f（1），利用直線方程的點(diǎn)斜式得答案；
（2）利用導(dǎo)數(shù)分類求出函數(shù)的最值，由最大值大于0，最小值小于0求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）結(jié)合（2）畫出函數(shù)圖象的大致形狀，由圖象可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=$\frac{x-1}{{e}^{x}}-1$，
f′（x）=$\frac{{e}^{x}-（x-1）{e}^{x}}{{e}^{2x}}=\frac{2-x}{{e}^{x}}$，
∴f′（1）=$\frac{1}{e}$，又f（1）=-1，
∴函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線為y+1=$\frac{1}{e}（x-1）$，
即x-ey-e-1=0；
（2）f（x）=$\frac{x-1}{a{e}^{x}}$-1，f′（x）=$\frac{a{e}^{x}-（x-1）a{e}^{x}}{{a}^{2}{e}^{2x}}=\frac{2-x}{a{e}^{x}}$，
若a＞0，則當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
∴$f（x）_{max}=f（2）=\frac{1}{a{e}^{2}}-1$，由$\frac{1}{a{e}^{2}}-1＜0$，得$a＞\frac{1}{{e}^{2}}$；
若a＜0，則當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴$f（x）_{min}=f（2）=\frac{1}{a{e}^{2}}-1$，由$\frac{1}{a{e}^{2}}-1＞0$，得a$＞\frac{1}{{e}^{2}}$，∴a∈∅．
綜上，若函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{1}{{e}^{2}}，+∞$）；
（3）由（2）知，當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)圖象大致形狀如上圖，
只有$f（x）_{max}=\frac{1}{a{e}^{2}}-1=0$，即a=$\frac{1}{{e}^{2}}$時(shí)，函數(shù)f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)圖象大致形狀如下圖，
函數(shù)f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上，使函數(shù)f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)的實(shí)數(shù)a的范圍是a＜0或a=$\frac{1}{{e}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查函數(shù)零點(diǎn)的判定方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．