Question

如圖，在底面 是菱形的四棱錐P—ABCD中，∠ABC=60⁰，PA=AC=a,PB=PD=,點E是PD的中點.

（I）證明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；

（II）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的正切值.

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）證法一  因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°， 所以AB=AD=AC=a，  在△PAB中， 由PA2+AB2=2a2=PB2   知PA⊥AB. 同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD. 因為          所以  、、共面. 又PB平面EAC，所以PB//平面EAC. 證法二  同證法一得PA⊥平面ABCD. 連結(jié)BD，設BDAC=O，則O為BD的中點. 連結(jié)OE，因為E是PD的中點，所以PB//OE. 又PB平面EAC，OE平面EAC，故PB//平面EAC. （Ⅱ）解  作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD. 知EG⊥平面ABCD. 作GH⊥AC于H，連結(jié)EH，則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的平面角. 又E是PD的中點，從而G是AD的中點， 所以