Question

8．在△OAB中，C為OA上的一點，且$\overrightarrow{OC}=\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}$，D是BC的中點，過點A的直線l∥OD，P是直線l上的動點，若$\overrightarrow{OP}={λ_1}\overrightarrow{OB}+{λ_2}\overrightarrow{OC}$，則λ₁-λ₂=（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． -$\frac{3}{2}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． -$\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)OD是△OBC的中線，得$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$．由直線l∥OD，可得存在實數(shù)k使$\overrightarrow{AP}$=k$\overrightarrow{OD}$，結(jié)合向量的基本定理以及向量的加法法則，進行運算即可算出則λ₁-λ₂的值．

解答 解：∵D是BC的中點，∴$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$
∵$\overrightarrow{OC}=\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}$，∴$\overrightarrow{OA}$=$\frac{5}{4}$$\overrightarrow{OC}$，
∵直線l∥OD，∴存在實數(shù)k，使$\overrightarrow{AP}$=k$\overrightarrow{OD}$，
因此，$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}$=$\frac{5}{4}$$\overrightarrow{OC}$+k$\overrightarrow{OD}$=$\frac{5}{4}$$\overrightarrow{OC}$+k（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$）=$\frac{k}{2}$$\overrightarrow{OB}$+（$\frac{5}{4}$+$\frac{k}{2}$）$\overrightarrow{OC}$，
∵由已知，得$\overrightarrow{OP}={λ}_{1}\overrightarrow{OB}+{λ}_{2}\overrightarrow{OC}$
∴根據(jù)平面向量基本定理，得$\frac{k}{2}$=λ₁且$\frac{5}{4}$+$\frac{k}{2}$=λ₂
因此，λ₁-λ₂=$\frac{k}{2}$-（$\frac{5}{4}$+$\frac{k}{2}$）=-$\frac{5}{4}$，
故選：D．

點評 本題在△OAB中，給出邊的三等分點C和△OBC的中線OD，探索向量$\overrightarrow{OP}$表示成$\overrightarrow{OB}、\overrightarrow{OC}$的線性組合問題，著重考查了平面向量的線性運算、平面向量的基本定理及其意義等知識，屬于中檔題．