Question

雙曲線

x2

a2

-y2=1（a＞0）與直線x+y=1相交于兩個不同的點，則雙曲線離心率e的取值范圍是

(

6

2

，

2

)∪(

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：把直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，利用判別式大于0和方程二次項系數(shù)不等于0求得a的范圍，進而利用a和c的關(guān)系，用a表示出離心率，根據(jù)a的范圍確定離心率的范圍．

解答：解：由直線與雙曲線相交于兩個不同的點，
故知方程組

x2 a2 -y2=1  x+y=1

有兩個不同的實數(shù)解．消去y并整理得
（1-a²）x²+2a²x-2a²=0．①
所以：

1-a2≠0 △=4a4-4(1-a2)(-2a2)＞0

；
解得0＜a＜

2

且a≠1．
雙曲線的離心率 e=

1+a2

a

=

1+a2 a2

=

1+ 1 a2

；
∵0＜a＜

2

且a≠1．
∴離心率e的取值范圍為：（

6

2

，

2

）∪（

2

，+∞）．
故答案為：（

6

2

，

2

）∪（

2

，+∞）．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．