Question

【題目】如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，，是軸的正半軸上一點(diǎn)，交橢圓于，且，的內(nèi)切圓半徑為1.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設(shè)內(nèi)切圓與三角形各邊的切點(diǎn)，再由直角三角形中，由勾股定理可得橢圓的值，再由可得的值，由，，之間的關(guān)系求出橢圓的方程；

（2）由（1）得直線的方程，由圓心到直線的距離為半徑1，求出圓的圓心坐標(biāo)，可得圓的方程，設(shè)的參數(shù)坐標(biāo)，可得數(shù)量積的表達(dá)式，進(jìn)而求出其取值范圍．

解：（1）設(shè)的內(nèi)切圓切，，于，，連接，，

因?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，所以四邊形為正方形，所以，

設(shè)，，由，且，有，則，，

由得，有，

故，即，，

所以橢圓的方程的標(biāo)準(zhǔn)方程：；

（2）設(shè)點(diǎn)，其到直線的距離為1，

有，解得或（舍），即.

故圓的方程為，

設(shè)，

由，，

所以，

有

因?yàn)?/span>

所以

故為.