Question

14．已知a，b是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x³+ax，g（x）=x²+bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f′（x）g′（x）≥0在區(qū)間I上恒成立，則稱f（x）和g（x）在區(qū)間I上單調(diào)性一致．
（Ⅰ）討論f（x）的極值；
（Ⅱ）設(shè)a＞0，若函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間[-2，+∞）上單調(diào)性一致，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)a＜0，且a≠b，若函數(shù)f（x）和g（x）在以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求|a-b|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）先求出函數(shù)f（x）和g（x）的導(dǎo)函數(shù)，再利用函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間[-1，+∞）上單調(diào)性一致即f′（x）g′（x）≥0在[-1，+∞）上恒成立，以及3x²+a＞0，來求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）先求出f′（x）=0的根以及g′（x）=0的根，再分別求出兩個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，綜合在一起看何時函數(shù)f（x）和g（x）在以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間上單調(diào)性一致，進(jìn)而求得|a-b|的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+a，
a≥0時，f′（x）≥0，f（x）在R遞增，無極值，
a＜0時，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{\sqrt{-3a}}{3}$或x＜-$\frac{\sqrt{-3a}}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：-$\frac{\sqrt{-3a}}{3}$＜x＜$\frac{\sqrt{-3a}}{3}$，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{\sqrt{-3a}}{3}$）遞增，在（-$\frac{\sqrt{-3a}}{3}$，$\frac{\sqrt{-3a}}{3}$）遞減，在（$\frac{\sqrt{-3a}}{3}$，+∞）遞增，
∴f（x）的極大值是f（-$\frac{\sqrt{-3a}}{3}$）=-$\frac{2a\sqrt{-3a}}{9}$，f（x）的極小值是f（$\frac{\sqrt{-3a}}{3}$）=$\frac{2a\sqrt{-3a}}{9}$．
（Ⅱ）f′（x）=3x²+a，g′（x）=2x+b，
由題得f′（x）g′（x）≥0在[-2，+∞）上恒成立．
因?yàn)閍＞0，故3x²+a＞0，
進(jìn)而2x+b≥0，即b≥-2x在[-2，+∞）上恒成立，所以b≥4，
故實(shí)數(shù)b的取值范圍是[4，+∞）；
（Ⅲ）令f′（x）=0，得x=±$\sqrt{-\frac{a}{3}}$．
若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因?yàn)閒′（0）g′（0）=ab＜0，
所以函數(shù)f（x）和g（x）在（a，b）上不是單調(diào)性一致的．
因此b≤0．
現(xiàn)設(shè)b≤0，當(dāng)x∈（-∞，0）時，g′（x）＜0；
當(dāng)x∈（-∝，-$\sqrt{-\frac{a}{3}}$）時，f′（x）＞0．
因此，當(dāng)x∈（-∝，-$\sqrt{-\frac{a}{3}}$）時，f′（x）g′（x）＜0．故由題設(shè)得a≥-$\sqrt{-\frac{a}{3}}$且b≥-$\sqrt{-\frac{a}{3}}$，
從而-$\frac{1}{3}$≤a＜0，于是-$\frac{1}{3}$＜b≤0，因此|a-b|≤$\frac{1}{3}$，且當(dāng)a=-$\frac{1}{3}$，b=0時等號成立，
又當(dāng)a=-$\frac{1}{3}$，b=0時，f′（x）g′（x）=6x（x²-$\frac{1}{9}$），從而當(dāng)x∈（-$\frac{1}{3}$，0）時f′（x）g′（x）＞0．
故函數(shù)f（x）和g（x）在（-$\frac{1}{3}$，0）上單調(diào)性一致，因此|a-b|的最大值為$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．