Question

(本題12分)
如圖1所示，在平行六面體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，已知AB=5，AD=4，AA₁=3，AB⊥AD，∠A₁AB=∠A₁AD=。（1）求證：頂點A₁在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分線上；
（2）求這個平行六面體的體積。

圖1                                      

Answer 1

（1）略
（2）平行六面體的體積為。

解（1）如圖2，連結(jié)A₁O，則A₁O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，連結(jié)A₁M，A₁N。由三垂線定得得A₁M⊥AB，A₁N⊥AD�！摺螦₁AM=∠A₁AN，
∴Rt△A₁NA≌Rt△A₁MA,∴A₁M=A₁N，
從而OM=ON。
∴點O在∠BAD的平分線上。
（2）∵AM=AA₁cos=3×=
∴AO==。
又在Rt△AOA₁中，A₁O²=AA₁² – AO²=9－=，
∴A₁O=，平行六面體的體積為。