Question

雙曲線C與橢圓=1有相同的焦點(diǎn),直線y=x為C的一條漸近線.

(1)求雙曲線C的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)P(0,4)的直線l,交雙曲線C于A、B兩點(diǎn),交x軸于Q點(diǎn)(Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合).當(dāng)=λ₁=λ₂,且λ₁+λ₂=-時(shí),求Q點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

解析：(1)設(shè)雙曲線方程為=1.

由橢圓=1求得兩焦點(diǎn)為(-2,0),(2,0).

∴對(duì)于雙曲線C:c=2.

又y=x為雙曲線C的一條漸近線,

∴.解得a²=1,b²=3.

∴雙曲線C的方程為x²-=1.

(2)由題意知直線l的斜率k存在且不等于零.

設(shè)l的方程為y=kx+4,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則Q(-,0).∵=λ₁,

∴(-,-4)=λ₁(x₁+,y₁).

∴

∵A(x₁,y₁)在雙曲線C上,

∴-1=0.

∴16+32λ₁+16λ₁²-k²-k²λ₁²=0.

∴(16-k²)λ₁²+32λ₁+16-k²=0.

同理有(16-k²)λ₂²+32λ₂+16-k²=0.

若16-k²=0,則直線l過(guò)頂點(diǎn),不合題意.

∴16-k²≠0.

∴λ₁、λ₂是二次方程(16-k²)x²+32x+16-k²=0的兩根.∴λ₁+λ₂=.

∴k²=4,此時(shí)Δ>0,∴k=±2.

∴所求Q的坐標(biāo)為(±2,0).