Question

已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+ax²+1．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（2）設a＜-1，若對任意x₁、x₂恒有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）f′（x）=

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

，（x∈（0，+∞））．對a分類討論：當a≥0時，當a≤-1時，當-1＜a＜0時，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性即可；
（2）不妨設0＜x₁≤x₂，對任意x₁、x₂恒有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|?f（x₁）-f（x₂）≥4（x₂-x₁），
?f（x₁）+4x₁≥f（x₂）+4x₂，令g（x）=f（x）+4x，則g′（x）=f′（x）+4=

a+1

x

+2ax+4，等價于g（x）在（0，+∞）上單調遞減，即

a+1

x

+2ax+4≤0，分離參數(shù)即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

，（x∈（0，+∞））．
當a≥0時，f′（x）＞0，因此函數(shù)f（x）在x∈（0，+∞）單調遞增．
當a≤-1時，f′（x）＜0，因此函數(shù)f（x）在x∈（0，+∞）單調遞減．
當-1＜a＜0時，令f′（x）=0，解得x=

- a+1 2a

．
當x∈(0，

- a+1 2a

)時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在x∈(0，

- a+1 2a

)單調遞增．
當x∈(

- a+1 2a

，+∞)時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在x∈(

- a+1 2a

，+∞)單調遞減．
（2）不妨設0＜x₁≤x₂，對任意x₁、x₂恒有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|
?f（x₁）-f（x₂）≥4（x₂-x₁），
?f（x₁）+4x₁≥f（x₂）+4x₂，（*）
令g（x）=f（x）+4x，則g′（x）=f′（x）+4=

a+1

x

+2ax+4，
（*）等價于g（x）在（0，+∞）上單調遞減，即

a+1

x

+2ax+4≤0，
從而a≤

-4x-1

2x2+1

=

(2x-1)2

2x2+1

-2≤-2，
∴a的取值范圍是（-∞，-2]．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、恒成立問題的等價轉化方法、分類討論的思想方法，考查了分離參數(shù)法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．