Question

已知三點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（0，3）、C（cosx，sinx）．
（1）若x∈R，求|

AC

|的最大值和最小值；
（2）若x≠

kπ

4

，k∈Z，且

AC

⊥

BC

，求

1+sin2x-cos2x

1+tanx

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用數(shù)量積運(yùn)算和余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、三角函數(shù)恒等變換即可得出．

解答： 解：（1）∵

AC

=(cosx-3，sinx)，
∴|

AC

|=

(cosx-3)2+sin2x

=

10-6cosx

，
∵x∈R，∴cosx∈[-1，1]，
當(dāng)cosx=-1時(shí)，|

AC

|取得最大值4，
當(dāng)cosx=-時(shí)，|

AC

|取得最小值2．
（2）∵

AC

⊥

BC

，
∴

AC

•

BC

=（cosx-3，sinx）•（cosx，sinx-3）=cosx（cosx-3）+sinx（sinx-3）=1-3cosx-3sinx=0，
化為sinx+cosx=

1

3

．
兩邊平方可得sin2x+cos2x+2sinxcosx=

1

9

，即2sinxcosx=-

8

9

，
∴

1+sin2x-cos2x

1+tanx

=

(cosx+sinx)2-(cosx-sinx)(cosx+sinx)

sinx+cosx cosx

=2sinxcosx=-

8

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算、余弦函數(shù)的單調(diào)性、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、三角函數(shù)恒等變換，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．