Question

7．已知點P是拋物線y²=6x上的動點，F(xiàn)是拋物線的焦點，A（$\frac{7}{2}$，2$\sqrt{3}$）為定點，則|PA|+|PF|的最小值是5，取得最小值時點P的坐標是（2，2$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 作PM⊥準線l，M為垂足，由拋物線的定義可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，故當P，A，M三點共線時，|PA|+|PM|最小為|AM|，此時，P點的縱坐標為2$\sqrt{3}$，代入拋物線的方程可求得P點的橫坐標為2，從而得到P點的坐標．

解答 解：由題意可得F（$\frac{3}{2}$，0 ），準線方程為x=-$\frac{3}{2}$，
作PM⊥準線l，M為垂足，
由拋物線的定義可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，
故當P，A，M三點共線時，
|PA|+|PM|最小為|AM|=$\frac{7}{2}$-（-$\frac{3}{2}$）=5，
此時，P點的縱坐標為2$\sqrt{3}$，代入拋物線的方程
可求得P點的橫坐標為2，
故P點的坐標為（2，2$\sqrt{3}$），
故答案為：5，（2，2$\sqrt{3}$）．

點評 本題主要考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷當P，A，M三點共線時，|PA|+|PM|最小為|AM|，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．