Question

如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠A₁AB=∠A₁AC，AB=AC，A₁A=A₁B=a，側(cè)面B₁BCC₁與底面ABC所成的二面角為120°，E、F分別是棱B₁C₁、A₁A的中點(diǎn)，
（Ⅰ）求A₁A與底面ABC所成的角；
（Ⅱ）證明A₁E∥平面B₁FC；
（Ⅲ）求經(jīng)過A₁、A、B、C四點(diǎn)的球的體積。

Answer 1

（Ⅰ）解：過A1作A1H⊥平面ABC，垂足為H， 連結(jié)AH，并延長(zhǎng)交BC于G，連結(jié)EG， 于是∠A1AH為A1A與底面ABC所成的角， ∵∠A1AB=∠A1AC， ∴AG為∠BAC的平分線， 又∵AB=AC， ∴AG⊥BC，且G為BC的中點(diǎn)， 因此，由三垂線定理，A1A⊥BC， ∵A1A∥B1B，且EG∥B1B，EG⊥BC， 于是∠AGE為二面角A-BC-E的平面角， 即∠AGE=120°， 由于四邊形A1AGE為平行四邊形， 得∠A1AG=60°， 所以，A1A與底面ABC所成的角為60°； （Ⅱ）證明：設(shè)EG與B1C的交點(diǎn)為P， 則點(diǎn)P為EG的中點(diǎn)，連結(jié)PF， 在平行四邊形AGEA1中，因F為A1A的中點(diǎn)， 故A1E∥FP， 而FP平面B1FC，A1E平面B1FC， 所以A1E∥平面B1FC。 （Ⅲ）解：連結(jié)A1C， 在△A1AC和△A1AB中， 由于AC=AB，∠A1AC=∠A1AB，A1A=A1A， 則△A1AC≌△A1AB，故A1C=A1B， 由已知得A1A=A1B=A1C=a， 又∵A1H⊥平面ABC， ∴H為△ABC的外心， 設(shè)所求球的球心為O，則O∈A1H， 且球心O與A1A中點(diǎn)的連線OF⊥A1A， 在Rt△A1FO中，， 故所求球的半徑， 球的體積。