Question

14．已知G為△ABC的重心，令$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow b$，過(guò)點(diǎn)G的直線分別交AB、AC于P、Q兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AQ}=n\overrightarrow b$，則$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=3．

Answer 1

分析 顯然$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GP}$，根據(jù)G點(diǎn)為重心，從而$\overrightarrow{AG}$可以用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$表示，而$\overrightarrow{GP}$和$\overrightarrow{QP}$共線，從而$\overrightarrow{GP}=x\overrightarrow{QP}=x（\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AQ}）$，而已知$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{a}，\overrightarrow{AQ}=n\overrightarrow$，從而會(huì)最后得到關(guān)于$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的式子：$（m-mx-\frac{1}{3}）\overrightarrow{a}+（nx-\frac{1}{3}）\overrightarrow=\overrightarrow{0}$，從而得到$\left\{\begin{array}{l}{m-mx-\frac{1}{3}=0}\\{nx-\frac{1}{3}=0}\end{array}\right.$，兩式聯(lián)立消去x即可求出答案．

解答 解：如圖，
$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{AG}+x\overrightarrow{QP}$=$\overrightarrow{AG}+x（\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AQ}）$；
∴$（1-x）\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AG}-x\overrightarrow{AQ}$；
G為△ABC的重心；
∴$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$，$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{a}，\overrightarrow{AQ}=n\overrightarrow$；
∴$m（1-x）\overrightarrow{a}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）-nx\overrightarrow$；
整理得，$（m-mx-\frac{1}{3}）\overrightarrow{a}+（nx-\frac{1}{3}）\overrightarrow=\overrightarrow{0}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-mx-\frac{1}{3}=0}\\{nx-\frac{1}{3}=0}\end{array}\right.$；
消去x得，$m-\frac{m}{3n}=\frac{1}{3}$；
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=3$．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法、減法的幾何意義，共線向量基本定理，重心的性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，以及向量加法的平行四邊形法則，向量的加法、減法運(yùn)算，平面向量基本定理．