Question

14．在圓（x-1）²+（y-3）²=25內過點（1，0）的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（　　）

• A． 40
• B． 20
• C． 80
• D． 10

Answer 1

分析 由圓的方程找出圓心坐標和半徑r，連接圓心與點（1，0），利用垂徑定理的逆定理最長的弦為過（1，0）的直徑，最短的弦為與直徑垂直的弦，由圓心與（1，0）的距離d，即弦心距及圓的半徑r，勾股定理及垂徑定理求出最短的弦長，再由直徑與最短的弦長垂直，利用直徑與最短弦長乘積的一半即可求出四邊形ABCD的面積．

解答 解：由圓的方程（x-1）²+（y-3）²=25，得到圓心坐標為（1，3），半徑r=5，
∵過（1，0）最長的弦為直徑，即AC=10，且（1，0）與（1，3）的距離d=3，
∴最短的弦長BD=2$\sqrt{25-9}$=8，
又AC⊥BD，
則四邊形ABCD的面積S=$\frac{1}{2}$×10×8=40．
故選A．

點評 此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：圓的標準方程，兩點間的距離公式，垂徑定理，勾股定理，以及對角線垂直的四邊形面積求法，其中根據題意得出最長的弦長與最短的弦長是解本題的關鍵．