Question

【題目】已知圓： 和點(diǎn)，動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切，圓心的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）點(diǎn)是曲線與軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)， 在曲線上，若直線， 的斜率分別是， ，滿足，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）分析條件可得圓心滿足條件>，從而可得曲線E是M，N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，可得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程消去x整理得到關(guān)于y的方程，進(jìn)一步可得

，由可求得，從而，從而

可得 ，從而可得三角形面積的最大值。

試題解析：

（1）由題意得圓的圓心為，半徑為，

點(diǎn)在圓內(nèi)，因?yàn)閯?dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切，所以動(dòng)圓與圓內(nèi)切。

設(shè)動(dòng)圓半徑為，則 .

因?yàn)閯?dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)，所以, >,

所以曲線E是M，N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓.

設(shè)橢圓的方程為

則，

∴,

∴曲線的方程為．

（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，不合題意；

設(shè)直線的方程為，

由消去x整理得，

設(shè)，

則，

由條件得點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,0），

∵，

∴

=.且，

∴，

解得，

故直線BC過定點(diǎn)（2，0），

由，解得，

∴ ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。

綜上面積的最大值為.