Question

【題目】在邊長為的等邊三角形中，點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn)，滿足且，將沿直線折到的位置. 在翻折過程中，下列結(jié)論成立的是（ ）

A.在邊上存在點(diǎn)，使得在翻折過程中，滿足平面

B.存在，使得在翻折過程中的某個(gè)位置，滿足平面平面

C.若，當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，

D.在翻折過程中，四棱錐體積的最大值記為，的最大值為

Answer 1

【答案】D

【解析】

利用反證法可證明A、B錯(cuò)誤，當(dāng)且二面角為直二面角時(shí)，計(jì)算可得，從而C錯(cuò)誤，利用體積的計(jì)算公式及放縮法可得，從而可求的最大值為，因此D正確.

對于A，假設(shè)存在，使得平面，

如圖1所示，

因?yàn)?/span>平面，平面平面，故，

但在平面內(nèi)，是相交的，

故假設(shè)錯(cuò)誤，即不存在，使得平面，故A錯(cuò)誤.

對于B，如圖2，

取的中點(diǎn)分別為，連接，

因?yàn)?/span>為等邊三角形，故，

因?yàn)?/span>，故

所以均為等邊三角形，故，，

因?yàn)?/span>，，，故共線，

所以，因?yàn)?/span>，故平面，

而平面，故平面平面，

若某個(gè)位置，滿足平面平面，則在平面的射影在上，也在上，故在平面的射影為，所以，

此時(shí)，這與矛盾，故B錯(cuò)誤.

對于C，如圖3（仍取的中點(diǎn)分別為，連接）

因?yàn)?/span>，所以為二面角的平面角，

因?yàn)槎�面�?/span>為直二面角，故，所以，

而，故平面，因平面，故.

因?yàn)?/span>，所以.

在中，，

在中，，故C錯(cuò).

對于D，如圖4（仍取的中點(diǎn)分別為，連接），

作在底面上的射影，則在上.

因?yàn)?/span>，所以且，所以其.

又

，

令，則，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故.

故D正確.

故選：D.