Question

定義：若函數(shù)對于其定義域內(nèi)的某一數(shù)，有，則稱是的一個不動點(diǎn). 已知函數(shù).

(1) 當(dāng)，時，求函數(shù)的不動點(diǎn)；

(2) 若對任意的實(shí)數(shù)b，函數(shù)恒有兩個不動點(diǎn)，求a的取值范圍；

(3) 在(2)的條件下，若圖象上兩個點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動點(diǎn)，且A、B的中點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上，求b的最小值.
（參考公式：的中點(diǎn)坐標(biāo)為）

Answer 1

(1)，由，           ………………1分

解得或，所以所求的不動點(diǎn)為或-2.            ……3分

(2)令，則 ①

由題意，方程①恒有兩個不等實(shí)根，所以，      

即恒成立，                                      ……………6分

則，故                                 ……8分

(3)設(shè)A(x₁，x₁)，B(x₂，x₂)(x₁≠x₂)，，         ……9分

又AB的中點(diǎn)在該直線上，所以，

∴，                                     

而x₁、x₂應(yīng)是方程①的兩個根，所以，即，

∴=-=-              ………12分

∴當(dāng) a=∈(0，1)時，b_min=-2                                     ……13分