Question

如圖所示，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，的棱AA₁長為a，底面ABCD是邊長AB=2a，BC=a的矩形，E為C₁D₁的中點．
（1）求證：DE⊥平面EBC．
（2）求點C到平面EBD的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明DE⊥平面EBC，只要證明由EC⊥ED，BC⊥DE，即可證明
（2）法一：由V_C-EBD=V_E-BCD可求C到平面BDE的距離
法二：建立直角坐標系，先求平面EBD的一個法向量，然后求出，可求C到平面BDE的距離為d=
解答：（1）證明：由題意可得，EC=ED=
∵CD=2a
∴EC⊥ED，…（2分）
∵BC⊥平面CC₁D₁D
∴BC⊥DE，…（4分）
即DE垂直于平面EBC中兩條相交直線，
因此DE⊥平面EBC，…（7分）
（2）解1：結(jié)合第（1）問得DB=，DE=，…（8分）
，DE⊥BE，
所以，S_△EBD= …（10分）
又由V_C-EBD=V_E-BCD得    …（12分）
故C到平面BDE的距離為h= …（14分）
解2：如圖建立直角坐標系，
則E（0，a，a），，B（a，2a，0），，…（9分）
因此平面EBD的一個法向量可取為，
由C（0，2，0），得，…（11分）
因此C到平面BDE的距離為d==
（其他解法，可根據(jù)【解1】的評分標準給分）
點評：本題主要考查了線面垂直的判定定理的應(yīng)用，等體積求解點到面的距離及向量法在距離求解中的應(yīng)用．