Question

（1）若曲線C是雙曲線，求k的取值范圍；

（2）若曲線C是焦點在x軸上的雙曲線且離心率為，求此雙曲線的方程；

（3）對于滿足條件（2）的雙曲線，是否存在過點B（1，1）的直線l，使直線l與雙曲線交于M，N兩點且B是線段MN的中點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解:（1）當k=-1、k=0或k=時，曲線C表示直線.

當k≠-1且k≠0且k≠時，曲線C可化為=1.①

方程①表示雙曲線的充要條件是＜0,解之得0＜k＜.

（2）∵曲線C是焦點在x軸上的雙曲線且離心率為，∴a²=,b²=,從而有e²==3,

∴k=1,

故曲線C的方程為x²-y²=1.

（3）假設存在直線l，設M（x₁,y₁）,N(x₂,y₂)，則有

即x₁²-x₂²-(y₁²-y₁²)=0,

∴2(x₁-x₂)(x₁+x₂)=(y₁-y₂)(y₁+y₂).

∵B是線段MN的中點，

∴x₁+x₂=2,y₁+y₂=2,

∴直線l的斜率k==2,

即直線l:y=2x-1,

又直線l與雙曲線交于MN兩點，由得2x²-4x+3=0,

此時Δ=16-4×2×3=-8＜0,方程無實數根.即直線l與雙曲線x²-y²=1無交點.

故滿足條件（3）的直線l不存在.