Question

6．已知3sin²α+2sin²β=2sinα，則sin²α+sin²β的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$]
• B． [0，$\frac{1}{2}$]
• C． [0，$\frac{4}{9}$]
• D． [$\frac{4}{9}$，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 由3sin²α+2sin²β=2sinα，可得sin²β=sinα-$\frac{3}{2}$sin²α，代入所求的式子，由sin²β≥0可確定sinα的范圍，從而通過配方即可解決問題．

解答 解：∵3sin²α+2sin²β=2sinα，
∴sin²β=sinα-$\frac{3}{2}$sin²α≥0，
∴0≤sinα≤$\frac{2}{3}$；
∴sin²α+sin²β=sin²α+sinα-$\frac{3}{2}$sin²α=-$\frac{1}{2}$（sinα-1）²+$\frac{1}{2}$，
∵0≤sinα≤$\frac{2}{3}$；
∴-$\frac{1}{2}$（sinα-1）²+$\frac{1}{2}$∈[0，$\frac{4}{9}$]．
故選：C．

點評 本題考查正弦函數(shù)的定義域和值域，難點在于利用正弦函數(shù)的定義域和值域求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題．