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已知雙曲線的中心在原點，對稱軸為坐標軸，其一條漸近線方程是，且雙曲線過點.

   （1）求此雙曲線的方程；

   （2）設直線過點，其方向向量為，令向量滿足.雙曲線的右支上是否存在唯一一點，使得. 若存在，求出對應的值和的坐標；若不存在，說明理由.

解：（1）設雙曲線的方程為，將點代入可得，

    雙曲線的方程為.

   （2）依題意，直線 的方程為 .設是雙曲線右支上滿足       

 的點，結合 ，得，

即點到直線的距離

              

    ①若，則直線與雙曲線的右支相交，此時雙曲線的右支上有兩個點到直線的距離為1，與題意矛盾；

②若，則直線在雙曲線右支的上方，故，從而

. 又因為 ，所以

.

當時，方程有唯一解 ，則；

當時，由得 ，此時方程有唯一解 ，則

綜上所述，符合條件的值有兩個：，此時；，此時.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為
2
，且過點(4，-
10
)，則雙曲線的標準方程是
x2-y2=6
x2-y2=6
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點，焦點為F1（5，0），F(xiàn)2（-5，0），且過點（3，0），
（1）求雙曲線的標準方程．
（2）求雙曲線的離心率及準線方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，一條漸近線方程為y=x，且過點(4，-
10
)．
（1）求雙曲線方程；
（2）設A點坐標為（0，2），求雙曲線上距點A最近的點P的坐標及相應的距離|PA|．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，一條漸近線方程為y=x，且過點(4，-
10
)，A點坐標為（0，2），則雙曲線上距點A距離最短的點的坐標是
(±
7
，1)
(±
7
，1)
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•豐臺區(qū)一模）已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，一條漸近線方程為y=
3
4
x，則該雙曲線的離心率是
5
4
5
4
．

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