Question

【題目】用一個(gè)平行于底面的截面去截一個(gè)正棱錐，截面和底面間的幾何體叫正棱臺(tái).如圖，在四棱臺(tái)中，，分別為的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若側(cè)棱所在直線與上下底面中心的連線所成的角為，求直線與平面所成的角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）連接交于，連接，，由已知，證得四邊形是平行四邊形，即是的中點(diǎn)，再由三角形的中位線定理證得，最后由線面平行的判定定理得證；

（Ⅱ）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，由已知關(guān)系分別表示的坐標(biāo)，進(jìn)而表示與平面的法向量，最后由空間向量求線面角的運(yùn)算公式求得答案即可.

（Ⅰ）連接交于，連接，，

在正四棱臺(tái)中，，分別為的中點(diǎn)

所以四邊形是平行四邊形，所以是的中點(diǎn).

因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以是的中位線.

所以，且面，

故平面.

（Ⅱ）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，

為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，

過(guò)做于，平面

則為測(cè)棱與底面所成的角，即，

，所以，，

，，則，

設(shè)平面的法向量

則，

令，則，

設(shè)直線與平面所成的角為，

所以，

，

故直線與平面所成的角的余弦值為.