Question

在長(zhǎng)方體中，為線段中點(diǎn)．

（1）求直線與直線所成的角的余弦值；

（2）若,求二面角的大小；

（3）在棱上是否存在一點(diǎn),使得平面？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在,說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）以點(diǎn)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo),從而可求出和的坐標(biāo),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042104390440629916/SYS201404210440029687277484_DA.files/image007.png">,所以直線與直線所成的角為，其余弦值；（2）分別求出平面和平面的法向量，求出法向量所成的角，轉(zhuǎn)化為二面角的平面角；（3）假設(shè)在棱上存在一點(diǎn),使得平面,則，設(shè)，則垂直于平面的法向量，從而求出，即存在點(diǎn)，使平面．

試題解析：

（1）以點(diǎn)為原點(diǎn),分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則 ，

 ,

故即與所成角的余弦值為0 ．

(2) 連接,由長(zhǎng)方體,得 ，

,,由(1)知,故平面. 所以是平面的法向量,而,

又，設(shè)平面的法向量為,則有,取,可得

則  ，所以二面角是 ．

(3) 假設(shè)在棱上存在一點(diǎn),使得平面,則，設(shè)，平面的法向量為則有,取,可得

要使平面,只要 ，

,又平面,

存在點(diǎn)使平面,此時(shí).

考點(diǎn)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量在立體幾何中的應(yīng)用，主要考查了利用向量方法解決空間中線面角，二面角的平面角的求解，以及線面平行的判定方法，解題的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，利用向量法解決空間中立體幾何問(wèn)題．