Question

10．（文科學生做）已知函數(shù)f（x）=tanx-sinx，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（1）比較f（-$\frac{π}{3}$），f（-$\frac{π}{4}$），f（$\frac{π}{3}$）與0的大小關系；
（2）猜想f（x）的正負，并證明．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=tanx-sinx，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），能比較f（-$\frac{π}{3}$），f（-$\frac{π}{4}$），f（$\frac{π}{3}$）與0的大小關系．
（2）猜想：當x∈（-$\frac{π}{2}$，0）時，f（x）＜0；當x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，f（x）＞0；當x=0時，f（x）=0．利用導數(shù)性質能進行證明．

解答 解：（1）∵f（x）=tanx-sinx，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
∴f（-$\frac{π}{3}$）＜0，
f（-$\frac{π}{4}$）＜0，
f（$\frac{π}{3}$）＞0．
（2）猜想：當x∈（-$\frac{π}{2}$，0）時，f（x）＜0；
當x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，f（x）＞0；
當x=0時，f（x）=0．
證明：∵f（x）=tanx-sinx，
∴${f}^{'}（x）=（\frac{sinx}{cosx}）^{'}-（sinx）^{'}$=$\frac{1-co{s}^{3}x}{co{s}^{2}x}$，
∵x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），∴cosx∈（0，1]，∴f′（x）≥0，
∴f（x）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上單調遞增，f（0）=tan0-sin0=0，
∴當x∈（-$\frac{π}{2}$，0）時，f（x）＜0；
當x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，f（x）＞0；
當x=0時，f（x）=0．

點評 本題考查三角函數(shù)的求法及應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．