Question

判斷函數f(x)=

ax+1

x+2

(a≠

1

2

)在（-2，+∞）上的單調性，并證明你的結論．

Answer 1

分析：設x₁，x₂∈（-2，+∞）且x₁＜x₂，化簡f（x₂）-f（x₁），變形到因式乘積的形式，判斷符號，注意分類討論，可得答案．

解答：解：設x₁，x₂∈（-2，+∞）且x₁＜x₂∵f(x)=

ax+2a+1-2a

x+2

=a+

1-2a

x+2

（2分）
∴f（x₂）-f（x₁）=(a+

1-2a

x2+2

)-(a+

1-2a

x1+2

)
=(1-2a)(

1

x2+2

-

1

x1+2

)=(1-2a)•

x1-x2

(x2+2)(x1+2)

（8分）
又∵-2＜x₁＜x₂，∴

x1-x2

(x2+2)(x1+2)

＜0
∴當1-2a＞0，即a＜

1

2

時，f（x₂）＜f（x₁），
當1-2a＜0，即a＞

1

2

時，f（x₂）＞f（x₁），
所以，當a＜

1

2

時，f(x)=

ax+1

x+2

在（-2，+∞）為減函數；
當a＞

1

2

時，f(x)=

ax+1

x+2

在（-2，+∞）為增函數．（12分）

點評：本題考查證明函數單調性的方法，體現分類討論的數學思想．