Question

10．已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y滿足f（x）+f（y）=f（x+y）+3，f（3）=6，當(dāng)x＞0時，f（x）＞3，那么，當(dāng)f（a²-a-5）＜4時，實數(shù)a的取值范圍是（-2，3）．

Answer 1

分析 先判斷f（x）的單調(diào)性，再計算f（1）=4，不等式轉(zhuǎn)化為a²-a-5＜1解出．

解答 解：（1）設(shè)x₁＜x₂，x₁、x₂∈R，則x₂-x₁＞0，
∵當(dāng)x＞0時，f（x）＞3，
∴f（x₂-x₁）＞3，
∵f（x+y）=f（x）+f（y）-2，
∴f（x₂）+f（-x₁）-3＞3，
∴f（x₂）+f（-x₁）＞6；
令x=y=0得：f（0）=3，
再取y=-x得：f（x）+f（-x）=6，即f（-x）=6-f（x），
∴f（x₂）+6-f（x₁）＞6，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上遞增，
∵f（3）=f（2）+f（1）-3=f（1）+f（1）-3+f（1）-3=3f（1）-6=6，
∴f（1）=4，
∴f（a²-a-5）＜4等價于a²-a-5＜1．
即a²-a-6＜0，解得-2＜a＜3．
故答案為（-2，3）．

點評 本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，考查利用單調(diào)性解不等式，已知抽象函數(shù)的運算性質(zhì)，常用“賦值法”．